أما جملة ما ينبغي أن نبدأ به من الأصول ونقدم فهو علي قدر ما وصفنا. وإذ نريد أن نبتدئ بالبرهانات علي الجزئيات التي /H31/ أولها البرهان الذي يوجد به قدر القوس التي بين القطبين اللذين ذكرنا من الدائرة A العظيمة المرسومة علي أقطاب الفلكين. قد نري أنه يجب باضطرار أن نقدم القول في معرفة أقدار أوتار أجزاء الدائرة: إذ نريد أن نبين (¬52) البرهان علي ما نحن واصفوه من قبل الخطوط.

/T48/ ونتخذ بعد ذلك لتيسير وجود ما نريد علمه من أقدارها جداول فنجزئ محيط دائرة بثلاث مائة وستين جزءا ونجعل تفاضل القسي فيها علي زيادة نصف جزء نصف جزء ونضيف إليها ما يوترها من الأوتار علي أنها أجزاء من مائة وعشرين من القطر لما سيتبين لنا من سهولته فيما نستعمل من الأعداد. فنبدأ قبل ذلك فنبين بأقل ما يكون وأبلغه في استخراج ما نريد كيف نعلم /H32/ أقدار الأوتار لئلا يكون كأنها إنما هي موضوعة لنا في الجداول من غير معرفة بها حقيقية بل مع وضعها في الجداول يثبت علم أقدارها من طريق الخطوط بأسهل ما يكون. ونتخذ عدد الستين في جميع ما يستعمل في أبواب الأعداد ليسهل العمل في الكسور. ونتوخي في جميع التضعيف والقسمة معرفة ما نريد معرفته بالتقريب حتي لا يكون ما نقرب (¬53) يبعد علي الحقيقة بمقدار بين للحس. (¬54)

/11/ <I.10> @NUM@ ي : في مقدار الخطوط المستقيمة التي تقع في الدائرة

/T48/ /12/ @NUM@ ا : فليكن أولا نصف دائرة عليه @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ جيم علي قطر @NUM@ ألف @NUM@ دال @NUM@ جيم وحول مركز @NUM@ دال . ولنخرج من نقطة @NUM@ دال خط @NUM@ دال @NUM@ باء علي زوايا قائمة علي خط @NUM@ ألف @NUM@ جيم ولنقسم خط @NUM@ دال @NUM@ جيم بنصفين علي نقطة @NUM@ هاء وليوصل بين @NUM@ ه و @NUM@ باء بخط @NUM@ هاء @NUM@ باء ولنفصل من @NUM@ هاء @NUM@ ألف خط @NUM@ هاء @NUM@ زاي مساويا لخط @NUM@ هاء @NUM@ باء وليوصل @NUM@ زاي @NUM@ باء .

فأقول إن خط @NUM@ زاي @NUM@ دال ضلع المعشر، وخط @NUM@ باء @NUM@ زاي ضلع المخمس. فلأن خط @NUM@ جيم @NUM@ دال قسم بنصفين علي نقطة @NUM@ هاء وزيد عليه بعض الزيادة وهي خط @NUM@ دال @NUM@ زاي ، /H33/ فالسطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا @NUM@ جيم @NUM@ زاي ، @NUM@ دال @NUM@ زاي مع مربع خط @NUM@ دال @NUM@ هاء مساو لمربع خط @NUM@ هاء @NUM@ زاي أعني مربع خط @NUM@ باء @NUM@ هاء ، إذ كان هذا الخط مساويا لخط @NUM@ زاي @NUM@ هاء . لكن مربعي خطي @NUM@ هاء @NUM@ دال ، @NUM@ دال @NUM@ باء مساويان لمربع خط @NUM@ هاء @NUM@ باء . /T49/ فالسطح إذا الذي يحيط به خطا @NUM@ جيم @NUM@ زاي ، @NUM@ دال @NUM@ زاي مع مربع خط @NUM@ دال @NUM@ هاء مساو لمربعي خطي @NUM@ هاء @NUM@ دال ، @NUM@ دال @NUM@ باء فإذا أسقط مربع خط @NUM@ هاء @NUM@ دال المشترك (¬55) بقي السطح الذي يحيط به خطا @NUM@ جيم @NUM@ زاي ، @NUM@ زاي @NUM@ دال مساويا لمربع خط @NUM@ دال @NUM@ باء أعني مربع خط @NUM@ دال @NUM@ جيم .

فخط @NUM@ زاي @NUM@ جيم إذا قد انقسم علي نسبة ذات وسط وطرفين علي نقطة @NUM@ دال . فلأن ضلع المسدس وضلع المعشر اللذين يرسمان في دائرة واحدة علي خط واحد مستقيم ينقسمان علي نسبة ذات وسط وطرفين وخط @NUM@ جيم @NUM@ دال إذ كان من المركز مساو لضلع المسدس، فخط @NUM@ دال @NUM@ زاي إذا مساو لضلع المعشر. وعلي هذا المثال، فلأن ضلع المخمس يقوي علي ضلع المسدس وضلع المعشر المرسومين في دائرة واحدة، /H34/ ومربع خط @NUM@ باء @NUM@ زاي من مثلث @NUM@ باء @NUM@ دال @NUM@ زاي القائم الزاوية مساو لمربعي خطي @NUM@ باء @NUM@ دال ، @NUM@ دال @NUM@ زاي وخط @NUM@ باء @NUM@ دال ضلع المسدس وخط @NUM@ دال @NUM@ زاي ضلع المعشر فخط @NUM@ باء @NUM@ زاي إذا مساو لضلع المخمس .

صفحة ٦