ولان القوم الذين اقتصوا هذه الاشياء زعموا ان ثااطيطس الاثينى اخذ خطين فى القوة مشتركين فبرهن انه اذا اخذ فيما بينهما خط على نسبة فى التناسب الهندسى حدث الخط الذى يسمى الموسط واذا اخذ فى التناسب التاليفى حدث المنفصل فنحن نقبل هذه الاشياء اذ كان ثااطيسطس يقولها ونضيف اليها ان التوسط الهندسى هو الخط الموسط بين خطين منطقين فى القوة مشتركين والتوسط العددى هو كل واحد من الخطوط التى بالتركيب والتوسط التاليفى هو كل واحد من الخطوط التى بالتفصيل وان اصناف التناسب الثلثة تحدث جميع الخطوط الصم وقد برهن اقليدس برهانا واضحا انه متى كان خطان منطقين فى القوة مشتركين واخذ خط فيما بينهما مناسب لهما مناسبة هندسية فان الخط الماخوذ اسم ويسمى الموسط فاما الصم الباقية فسنبين فيها التناسب الباقى فلنضع خطين مستقيمين وهما خطا ا ب وخط ما هو موسط فيما بينهما على التناسب العددى وهو ج فخطا اب اذا.اذا تركبا كانا ضعف خط ج لان هذه خاصة التناسب العددى فان كان خطا اب منطقين فى القوة مشتركين فخط ج من اسمين لانهما اذا تركبا صارا ضعف ج ولكنهما اذا ركبا احدثا الذى من اسمين فلان خط ج نصفهما فهذا الخط من اسمين ايضا واذا كان خطا ا ب موسطين فى القوة مشتركين يحيطان بمنطق فان المركب منهما وهو ضعف خط ج يصير من موسطين الاول فخط ج اذا حاله هذه الحال لانه نصف المركب من الطرفين فان كانا موسطين فى القوة مشتركين يحيطان بموسط فان المركب منهما يصير من موسطين الثانى ومشاركا لخط ج لانه ضعفه فخط ج اذا من موسطين الثانى ايضا وان كان خطا اب فى القوة متباينين وكان الذى من مربعيهما منطقا والذى بينهما اصم فان خط ج يصير الاعظم لان المركب من خطى ا ب هو الاعظم وهو ضعف خط ج فخط ج اذا الاعظم وان كان الامر بالعكس اعنى ان كان خطا ا ب فى القوة متباينين وكان الذى من مربعيهما موسطا والذى بينهما منطقا صار خط ج القوى على منطق وموسط لانه مشارك للمركب من خطى اب وقد كان المركب منهما القوى على منطق وموسط وان كان خطا اب فى القوة متباينين وكان الذى من مربعيهما والذى بينهما موسطين فان خط ج يكون القوى على موسطين اذ كان المركب من خطى ا ب ضعف ج وهو القوى على موسطين فخط ج قوى على موسطين فخط ج اذا لما كان توسطا عدديا احدث جميع الخطوط الصم التى بالتركيب

[chapter 54]

صفحة ٢٣٦